Cours Analyse SMIA S2
Cours Intégrale de Riemann Chapitre 1 :
Table des matières:
1 Intégrabilité au sens de Riemann sur un compact 7
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Théorèmes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Intégrabilité au sens de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Notion de subdivision d’un intervalle ferme borne [a, b] . . 11
1.2.2 Sommes de Darboux inferieures L et supérieures U . . . . . . . 11
1.2.3 Propriétés des Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 définition de l’intégrabilité au sens de Darboux . . . . . . . . 15
1.3 Critère d’intégrabilité de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Exemple de fonction intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 définition de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 définition des sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Intégrabilité au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1 La surface ou la ”mesure” d’un point est nulle ! ? . . . . . . . . 22
1.5.2 Additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.3 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.4 Lemme très utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.5 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.6 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.7 Positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.8 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.9 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.10 Inégalité de Cauchy Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.11 Deuxième Formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Les Théorèmes Fondamentaux du calcul intégral 31
2.1 Premier Théorème Fondamental du calcul intégral (T F CI1) .. 31
2.1.1 PREMIERE Conséquence du T F CI1 : Intégrales usuelles. . 32
2.1.2 DEUXIEME Conséquence du T F CI1 : L’intégration par parties.. 32
2.2 Deuxième Théorème Fondamental du calcul intégral (T F CI2) . 33
2.2.1 Fonction intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Continuité de la fonction intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 D´dérivabilité de la fonction intégrale . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 Notion de Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.5 Formule du Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.6 Formule du Changement de variable bijectif . . . . . . . . 36
2.2.7 Les Changements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 COMMENT Calculer une intégrale Z b
a
f =
Z b
a
f(x)dx . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Première méthode : Basée sur la difinition de Riemann . . . . . . . . 38
2.3.2 Deuxième m´méthode : Basée sur les sommes de Riemann . 38
2.3.3 Troisième méthode : Basée sur le T F CI1 . . . . . . . . . . . 39
3 Autres Techniques du calcul intégral 41
3.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 D´composition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Intégration des éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Fonctions Trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Cas spéciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Fonctions Hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Intégrales du type R √
ax2 + bx + c .
Cours Intégrale Généralisée Chapitre 2 :
Table des matières
1 Rappels, Définitions et Critères primaires 7
1.1 Critère de Cauchy pour la limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Rappel sur la définition de la limite d’une fonction . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Rappel sur la composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Intégrale sur un intervalle semi-fermé [a, b[ avec (a, b) ∈ . . . . 11
1.2.1 Critère de la fonction bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Critère du prolongement à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Intégrale sur un intervalle semi-ouvert ]a, b] avec (a, b) ∈ R. 14
1.3.1 Critère de la fonction bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Critère du prolongement à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Intégrale sur un intervalle non borné [a, +∞[ avec a ∈ R . . . . . 16
1.4.1 Critère de la limite en plus l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Intégrale sur ] − ∞, b] avec b ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Critère de la limite en moins l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Intégrale sur un intervalle ouvert ]a, b[ avec (a, b) ∈ R . . . . 20
2 Propriétés de l’intégrale généralisée, Changement de variable 23
2.1 Propriétés des intégrales généralisées . . . . . . .. . . . . . . . . 23
2.1.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4 Positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.5 Convergence Absolue d’une intégrale généralisée . . . . . 25
2.2 Changements de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Changement φ STRICTEMENT CROISSANT de [α, β[ vers [a, b[ . . 26
2.2.2 Changement φ STRICTEMENT DECROISSANT de ]α, β] vers [a, b[ 27
3 Intégrale sur un intervalle du type ]0, b] avec b > 0 31
3.1 Critères généraux pour les fonctions de signe VARIABLE . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Critère de Cauchy pour la convergence d’une intégrale sur ]0, b]. . . . 31
3.1.2 Critère de Convergence absolue d’une intégrale sur ]0, b]. . . . . . . . 31
3.1.3 Critère de l’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.4 Utilisation du développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Critères spéciaux valables pour les fonctions de SIGNE CONSTANT . . . . 34
3.2.1 Intégrales de Référence α-Riemann au voisinage de 0. . 34
3.2.2 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 Critère d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Intégrale sur un intervalle du type [a, +∞[ avec a > 0 39
4.1 Critères généraux pour les fonctions de signe VARIABLE . . . 39
4.1.1 Critère de Cauchy pour la convergence d’une intégrale sur [a, +∞[. . 39
4.1.2 Critère de Convergence absolue d’une intégrale sur [a, +∞[. .39
4.1.3 Critère de l’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.4 Utilisation du développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.5 Règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Critères spéciaux valables pour les fonctions de SIGNE CONSTANT . . . . 44
4.2.1 Intégrales de référence α-Riemann au voisinage de +∞ . . . 44
4.2.2 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.3 Critère d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.4 Règle en x
4.3 ALGORITHME pour étudier la nature d’une intégrale généralisée ? . . . . . 48
4.3.1 Intégrale impropre à droite de 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2 Intégrale impropre à cause de la borne infinie . . . . . . . . . . . . . 49
5 EXAMENS ANTERIEURS 51
5.1 Ordinaire 16-17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Rattrapage 2016-2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Ordinaire 17-18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4 Corrigé de l’ordinaire 2017-2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Cours Equations Différentielles Chapitre 3 :
1 Introduction :
2 Forme Générale d’une ´équation différentielle
2.1 Problème de Cauchy
2.2 Existence et unicité de la solution
3 Equations Simples
3.1 Equations `a variables s´éparées
3.2 Equations Homogène
4 Equation linéaire du premier ordre
4.1 Equation linéaire du premier ordre INCOMPLETE
4.2 Equation linéaire du premier ordre COMPLETE
5 Equation non linéaire se ramenant au cas linéaire
5.1 Equations de Bernoulli
5.2 Equation de Ricatti
6-Equations linéaires du deuxième ordre `a coefficients
constants
7-Equation linéaire du deuxième ordre `a coefficients
non constants
EXERCICES CORRIGES
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